중심극한정리: 무작위성 속에서 질서를 찾는 통계학의 핵심 원리

목차

1. 중심극한정리 소개: 통계학의 심장을 관통하는 원리
2. 중심극한정리의 주요 변형: 기본을 넘어선 확장
3. 중심극한정리와 큰 수의 법칙: 무엇이 다른가?
4. 중심극한정리의 증명: 어떻게 무작위성이 정규분포를 따르는가?
5. 표준정규분포와 중심극한정리: 현실 세계를 설명하는 강력한 도구
6. 중심극한정리의 이항분포 예: 동전 던지기에서 발견하는 정규성
7. 결론: 중심극한정리의 현대적 의의
8. 자주 묻는 질문(FAQ)
9. 참고 문헌

1. 중심극한정리 소개: 통계학의 심장을 관통하는 원리

통계학의 세계에는 수많은 이론이 존재하지만, 그중에서도 가장 중요하고 강력한 개념을 꼽으라면 단연 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)일 것이다. 이 정리는 무작위적으로 보이는 현상 속에서 놀라운 질서를 발견하게 해주는 통계적 나침반과 같다.

중심극한정리의 정의

중심극한정리를 간단히 정의하면 다음과 같다.

모집단의 분포 형태와 관계없이, 표본의 크기가 충분히 크다면(일반적으로 n ≥ 30), 표본 평균의 분포는 정규분포에 가까워진다.

여기서 핵심은 ‘모집단의 분포 형태와 관계없이’라는 부분이다. 예를 들어, 전 세계 사람들의 소득 분포는 일부 고소득층으로 인해 오른쪽으로 길게 꼬리를 갖는 비대칭 분포(right-skewed distribution)를 띤다. 하지만 여기서 무작위로 100명씩 표본을 여러 번 추출하여 각 표본의 평균 소득을 계산한 뒤, 이 평균값들을 모아 히스토그램을 그려보면 아름다운 종 모양의 정규분포가 나타난다. 이것이 바로 중심극한정리의 마법이다.

이때 표본 평균의 분포는 다음 두 가지 중요한 특성을 가진다.

1. 평균: 표본 평균들의 평균은 모집단의 평균(μ)과 거의 같다.
2. 분산: 표본 평균들의 분산은 모집단의 분산(σ²)을 표본의 크기(n)로 나눈 값(σ²/n)과 거의 같다.

통계학에서의 역할과 중요성

중심극한정리가 중요한 이유는 추론 통계학(Inferential Statistics)의 근간을 이루기 때문이다. 현실 세계의 대부분 문제에서 우리는 모집단 전체를 조사할 수 없다. 대한민국 모든 성인 남성의 평균 키, 특정 공장에서 생산된 모든 배터리의 평균 수명 등을 알아내는 것은 사실상 불가능하다.

이때 우리는 표본을 추출하여 모집단의 특성을 ‘추정’한다. 중심극한정리는 바로 이 추정 과정에 수학적 정당성을 부여한다. 모집단의 분포를 모르더라도, 표본 평균의 분포가 정규분포를 따른다는 것을 알기 때문에 우리는 이를 이용해 신뢰구간을 설정하고 가설검정을 수행할 수 있다.

예를 들어, 선거 여론조사에서 1,000명의 표본을 조사한 후 ‘A 후보의 지지율은 45%이며, 95% 신뢰수준에서 오차범위는 ±3.1%p입니다’라고 발표할 수 있는 것도 중심극한정리 덕분이다. 표본 지지율의 분포가 정규분포를 따른다고 가정할 수 있기에 이러한 통계적 추론이 가능한 것이다.

2. 중심극한정리의 주요 변형: 기본을 넘어선 확장

고전적인 중심극한정리는 '독립적이고 동일한 분포를 따르는(independent and identically distributed, i.i.d.)' 확률 변수라는 강력한 가정을 전제로 한다. 하지만 현실 세계의 데이터는 항상 이 조건을 만족하지는 않는다. 금융 시장의 주가 데이터처럼 시간에 따라 서로 영향을 주거나, 각기 다른 특성을 가진 집단에서 추출된 데이터는 동일한 분포를 따르지 않을 수 있다.

이러한 한계를 극복하기 위해 수학자들은 중심극한정리를 다양한 조건으로 확장해왔다.

린데베르그-레비 중심극한정리 (Lindeberg-Lévy CLT)

우리가 흔히 '중심극한정리'라고 부르는 고전적인 형태가 바로 린데베르그-레비 중심극한정리다. 이는 확률 변수들이 i.i.d. 조건을 만족하고, 유한한 평균과 분산을 가질 때 성립한다. 가장 기본적이고 널리 사용되는 형태다.

랴푸노프 중심극한정리 (Lyapunov CLT)

랴푸노프 중심극한정리는 i.i.d. 가정 중 '동일한 분포(identically distributed)'라는 조건을 완화한다. 즉, 표본으로 추출된 각 확률 변수들이 서로 다른 분포를 따르더라도, 특정 조건을 만족하면 그 합이 정규분포에 근사한다는 것을 보여준다.

이때 필요한 조건이 바로 랴푸노프 조건(Lyapunov condition)이다. 이는 각 확률 변수의 2차를 초과하는 고차 적률(moment)이 전체 분산의 합에 비해 점진적으로 무시할 수 있을 만큼 작아져야 한다는 것을 의미한다. 쉽게 말해, 개별 변수 중 어느 하나가 전체 합의 변동성에 지나치게 큰 영향을 미치지 않아야 한다는 뜻이다.

마팅게일 중심극한정리 (Martingale CLT)

마팅게일 중심극한정리는 여기서 한 걸음 더 나아가 '독립성(independence)' 가정까지 완화한다. 마팅게일(Martingale)은 금융 시계열 분석 등에서 자주 등장하는 개념으로, 미래 값에 대한 최선의 예측이 현재 값이라는 특성을 갖는 확률 과정이다. 즉, 과거의 모든 정보가 주어졌을 때 다음 시점의 값에 대한 기댓값이 현재 값과 같은 경우를 말한다.

이는 완전한 독립성은 아니지만, 미래의 예측이 과거 정보에 체계적으로 종속되지 않는다는 점에서 '약한 형태의 독립성'으로 볼 수 있다. 마팅게일 중심극한정리는 이러한 마팅게일 차이 수열(martingale difference sequence)의 합이 특정 조건 하에서 정규분포로 수렴함을 보인다. 이는 주식 수익률 분석 등 종속적인 데이터 구조를 다룰 때 매우 유용하게 사용된다.

이러한 변형들은 중심극한정리가 단순한 이론을 넘어 얼마나 유연하고 강력하게 현실 문제에 적용될 수 있는지를 보여주는 증거다.

3. 중심극한정리와 큰 수의 법칙: 무엇이 다른가?

중심극한정리를 배울 때 항상 함께 언급되는 개념이 바로 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers, LLN)이다. 두 법칙 모두 표본의 크기가 커질 때 발생하는 현상을 다루지만, 그 초점은 명확히 다르다.

두 법칙의 관계와 차이점

두 법칙의 차이를 한 문장으로 요약하면 다음과 같다.

• 큰 수의 법칙 (LLN): 표본의 크기(n)가 커질수록 표본 평균이 모평균이라는 하나의 값으로 수렴하는 현상을 설명한다.
• 중심극한정리 (CLT): 표본의 크기(n)가 커질수록 표본 평균의 분포가 정규분포라는 하나의 분포 형태로 수렴하는 현상을 설명한다.

이를 주사위 던지기 예시로 살펴보자. 주사위를 한 번 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값(모평균)은 3.5다.

• 큰 수의 법칙 적용: 주사위를 10번 던진 평균은 3.8, 100번 던진 평균은 3.52, 10,000번 던진 평균은 3.499처럼, 던지는 횟수(표본 크기)가 늘어날수록 그 평균이 기댓값인 3.5에 점점 더 가까워진다. 즉, 결과가 어디로 가는지를 말해준다.
• 중심극한정리 적용: 이번에는 '주사위 30번 던지기'를 하나의 세트로 묶어, 이 세트를 1,000번 반복한다고 상상해보자. 그러면 1,000개의 '표본 평균' 값이 생길 것이다. 이 1,000개의 평균값들을 히스토그램으로 그리면, 그 분포가 평균이 3.5인 정규분포(종 모양)를 띠게 된다. 즉, 결과들이 어떤 모양으로 분포하는지를 말해준다.

어떤 통계학자는 이 관계를 "큰 수의 법칙은 목적지에 대한 것이고, 중심극한정리는 여정에 대한 것"이라고 비유했다. 큰 수의 법칙은 표본 평균이 결국 모평균에 도달할 것이라고 말해주고, 중심극한정리는 그 과정에서 표본 평균들이 모평균 주변에 어떻게 분포하며 흩어져 있는지를 설명해준다.

4. 중심극한정리의 증명: 어떻게 무작위성이 정규분포를 따르는가?

중심극한정리가 어떻게 수학적으로 증명되는지 이해하는 것은 그 원리를 더 깊이 파악하는 데 도움이 된다. 가장 일반적인 증명 방법은 특성함수(Characteristic Function)를 사용하는 것이다. 증명의 모든 수식을 따라가지 않더라도, 그 논리적 흐름을 이해하는 것만으로도 충분하다.

특성함수를 사용한 증명의 기본 개념

증명의 핵심 아이디어는 다음과 같은 단계로 이루어진다.

1. 특성함수의 정의: 확률 변수 X의 특성함수 φ_X(t)는 E[e^(itX)]로 정의된다. 이는 확률분포를 주파수 영역으로 변환하는 푸리에 변환(Fourier Transform)과 유사한 개념이다. 특성함수의 가장 중요한 성질은 확률분포와 일대일 대응 관계를 갖는다는 것이다. 즉, 두 분포의 특성함수가 같다면 두 분포는 동일한 분포다.

2. 독립 변수 합의 특성함수: 서로 독립인 확률 변수 X와 Y의 합(Z = X + Y)의 특성함수는 각 변수의 특성함수의 곱과 같다. (φ_Z(t) = φ_X(t) * φ_Y(t))

3. 표본 평균의 표준화: 모집단에서 추출한 표본 X_1, X_2, ..., X_n의 평균을 X̄라고 하자. 중심극한정리는 이 X̄의 분포에 관한 것이므로, 먼저 X̄를 평균이 0, 분산이 1이 되도록 표준화한다. 이 표준화된 변수를 Z_n이라고 하자.

4. 테일러 급수 전개: Z_n의 특성함수를 t=0 근방에서 테일러 급수(Taylor series)로 전개한다. 이 과정에서 확률 변수의 평균, 분산과 같은 적률(moment)들이 계수로 나타난다.

5. 극한 계산: 표본의 크기 n을 무한대로 보내는 극한을 취한다. 이 복잡한 계산을 거치면, Z_n의 특성함수는 n이 커짐에 따라 놀랍도록 간단한 형태인 e^(-t²/2)로 수렴한다.

6. 결론 도출: e^(-t²/2)는 바로 표준정규분포(N(0,1))의 특성함수다. 특성함수와 확률분포는 일대일 대응 관계이므로(레비의 연속성 정리, Lévy's continuity theorem), Z_n의 분포는 n이 무한대로 갈 때 표준정규분포로 수렴한다는 결론을 얻는다.

이 증명 과정은 개별 분포가 어떤 형태이든 상관없이, 그들을 더하고 평균을 내는 과정 자체가 본질적으로 정규분포를 만들어내는 구조를 가지고 있음을 수학적으로 보여준다.

5. 표준정규분포와 중심극한정리: 현실 세계를 설명하는 강력한 도구

중심극한정리가 표준정규분포로 수렴하는 과정은 통계학을 이론에서 현실로 가져오는 다리 역할을 한다. 우리는 이 원리 덕분에 모집단에 대한 정보가 부족하더라도 표본 데이터를 통해 신뢰할 수 있는 결론을 도출할 수 있다.

실생활 적용 예

중심극한정리는 우리 주변의 수많은 현상을 설명하고 예측하는 데 사용된다.

• 품질 관리(Quality Control): 한 공장에서 수백만 개의 전구를 생산한다고 가정하자. 전구 각각의 수명은 다양한 요인으로 인해 제각각일 것이다. 하지만 무작위로 100개의 전구를 표본으로 뽑아 평균 수명을 측정하는 작업을 여러 번 반복하면, 그 평균 수명들의 분포는 정규분포를 따른다. 이를 통해 공장은 "우리 공장 전구의 평균 수명은 95% 신뢰수준에서 980시간에서 1020시간 사이입니다"와 같이 제품의 품질을 보증할 수 있다.

• 선거 예측 및 여론조사: 선거를 앞두고 여론조사 기관은 전국의 유권자 중 1,000명 정도의 표본을 추출해 지지율을 조사한다. 단 한 번의 조사 결과만으로는 전체 유권자의 마음을 정확히 알 수 없다. 하지만 중심극한정리에 따라, 이러한 표본 조사를 여러 번 반복했을 때 그 결과(표본 지지율)는 실제 모집단 지지율을 중심으로 정규분포를 형성할 것이라고 기대할 수 있다. 이를 바탕으로 오차범위를 계산하고 예측의 정확도를 가늠한다.

• 생물학 및 농학 연구: 특정 어종의 평균 길이를 알기 위해 바다의 모든 물고기를 잡을 수는 없다. 대신, 여러 지점에서 그물로 표본을 수집하여 평균 길이를 측정한다. 중심극한정리는 이 표본 평균들이 실제 평균 길이를 중심으로 정규분포를 이룰 것이라고 보장해준다. 이를 통해 연구자들은 어종의 성장 상태나 생태계의 건강성을 추론할 수 있다.

이처럼 중심극한정리는 불확실성 속에서 합리적인 추론을 가능하게 하는, 데이터 과학 시대의 필수적인 도구라 할 수 있다.

6. 중심극한정리의 이항분포 예: 동전 던지기에서 발견하는 정규성

중심극한정리의 가장 직관적이고 오래된 예시 중 하나는 이항분포가 정규분포에 근사하는 과정이다. 이는 드무아브르-라플라스 정리(De Moivre-Laplace Theorem)로도 알려져 있으며, 중심극한정리의 특별한 경우로 볼 수 있다.

구체적 사례 및 설명

공정한 동전을 100번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 X라고 하자. X는 모수 n=100, p=0.5인 이항분포를 따른다. 이항분포의 확률질량함수를 이용해 앞면이 정확히 53번 나올 확률을 계산하려면 매우 복잡한 조합 계산(₁₀₀C₅₃ * (0.5)⁵³ * (0.5)⁴⁷)을 해야 한다.

하지만 드무아브르-라플라스 정리에 따르면, n이 충분히 크기 때문에 이 이항분포는 정규분포로 근사할 수 있다.

• 평균 (μ): np = 100 * 0.5 = 50
• 표준편차 (σ): sqrt(np(1-p)) = sqrt(100 * 0.5 * 0.5) = 5

즉, 동전 100번 던지기에서 앞면이 나오는 횟수는 평균이 50이고 표준편차가 5인 정규분포를 대략적으로 따른다고 볼 수 있다.

이항분포는 개별 시행(성공 또는 실패)을 나타내는 베르누이 분포의 합으로 생각할 수 있다. 동전을 한 번 던지는 베르누이 시행의 결과(앞면=1, 뒷면=0)는 전혀 정규분포와 닮지 않았다. 하지만 이러한 독립적인 시행을 100번 더하자, 그 합의 분포는 놀랍게도 정규분포의 종 모양 곡선과 매우 유사해진다. 이는 모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 표본의 합이나 평균은 정규분포로 수렴한다는 중심극한정리의 원리를 명확하게 보여준다.

이러한 근사는 n이 크고 p가 0이나 1에 너무 가깝지 않을 때(보통 np > 5이고 n(1-p) > 5일 때) 잘 작동한다. 이 원리 덕분에 우리는 복잡한 이산확률 계산을 다루기 쉬운 연속확률분포인 정규분포를 이용해 근사적으로 해결할 수 있다.

7. 결론: 중심극한정리의 현대적 의의

중심극한정리는 18세기 아브라암 드무아브르에 의해 처음 아이디어가 제시된 이래, 라플라스, 랴푸노프, 린데베르그 등 수많은 수학자들의 손을 거쳐 현대 통계학의 가장 중요한 초석으로 자리 잡았다.

이 정리의 가장 심오한 의의는 '복잡성과 무작위성 속에서 보편적인 패턴을 찾아내는 힘'에 있다. 각기 다른 원인과 분포를 가진 수많은 작은 요인들이 독립적으로 더해질 때, 그 결과는 필연적으로 정규분포라는 예측 가능한 형태로 나타난다. 이는 자연 현상, 사회 현상, 공학적 문제 등 다양한 분야에서 왜 정규분포가 그토록 자주 관찰되는지에 대한 근본적인 설명을 제공한다.

데이터 과학과 기계 학습의 시대에 중심극한정리의 중요성은 더욱 커지고 있다. A/B 테스트에서 두 그룹의 평균 차이가 통계적으로 유의미한지 판단하거나, 부트스트래핑(bootstrapping)과 같은 리샘플링 기법의 이론적 배경을 제공하는 등, 중심극한정리는 데이터를 기반으로 신뢰할 수 있는 의사결정을 내리는 모든 과정에 깊숙이 관여하고 있다.

결론적으로 중심극한정리는 단순한 수학 정리를 넘어, 우리가 데이터를 이해하고 불확실한 세상과 소통하는 방식의 근간을 이루는 위대한 지적 성취라고 할 수 있다.

8. 자주 묻는 질문(FAQ)

Q1: 표본 크기는 왜 보통 30 이상이어야 하나요?
A1: 'n ≥ 30'은 경험적으로 얻어진 규칙(rule of thumb)이다. 모집단 분포가 심하게 비대칭적이거나 극단적인 이상치를 갖지 않는 한, 표본 크기가 30 정도 되면 표본 평균의 분포가 정규분포에 충분히 가깝게 근사한다고 보기 때문이다. 만약 모집단이 이미 정규분포에 가깝다면 더 작은 표본 크기로도 충분하며, 반대로 매우 비대칭적이라면 30보다 더 큰 표본이 필요할 수 있다.

Q2: 중심극한정리가 적용되지 않는 경우도 있나요?
A2: 네, 있다. 가장 대표적인 예는 모집단의 분산이 무한대인 경우다. 예를 들어, 코시 분포(Cauchy distribution)는 평균과 분산이 정의되지 않기 때문에, 코시 분포를 따르는 모집단에서 표본을 아무리 많이 추출해도 그 평균의 분포는 정규분포로 수렴하지 않는다. 중심극한정리가 성립하기 위해서는 모집단의 분산이 유한해야 한다는 전제 조건이 필요하다.

Q3: 중심극한정리는 표본 '평균'에만 적용되나요?
A3: 주로 표본 평균에 대해 설명하지만, 원리는 표본 '합(sum)'에도 동일하게 적용된다. 표본 평균은 표본 합을 표본 크기 n으로 나눈 것이므로, 분포의 형태는 같고 척도(scale)만 다르다. 더 나아가, 특정 조건 하에서는 표본 중앙값이나 다른 통계량의 분포도 정규분포에 근사하는 경우가 있다.

9. 참고 문헌

Jim Frost, "Central Limit Theorem Explained," Statistics By Jim. [Online]. Available: https://statisticsbyjim.com/basics/central-limit-theorem/
DataCamp, "Central Limit Theorem: A Key Concept in Statistics Explained," Apr. 02, 2025. [Online]. Available: https://www.datacamp.com/tutorial/central-limit-theorem
Data Science Delight, "Central Limit Theorem: A Beginner’s Guide," Medium, Apr. 01, 2024. [Online]. Available: https://medium.com/@datasciencedelight/central-limit-theorem-a-beginners-guide-b73455913f4b
Shaun Turney, "Central Limit Theorem | Formula, Definition & Examples," Scribbr, Jul. 06, 2022. [Online]. Available: https://www.scribbr.com/statistics/central-limit-theorem/
Investopedia, "What Is the Central Limit Theorem (CLT)?" Jun. 04, 2025. [Online]. Available: https://www.investopedia.com/terms/c/central_limit_theorem.asp
Cross Validated, "How are the Lindeberg–Lévy, Lyapunov, and Lindeberg central limit theorems related?" May 13, 2011. [Online]. Available: https://math.stackexchange.com/questions/59143/how-are-the-lindeberg-levy-lyapunov-and-lindeberg-central-limit-theorems-re
HKUST Math Department, "§ 2.2. Central limit theorem." [Online]. Available: https://www.math.hkust.edu.hk/~maykwok/courses/MA362/Topic2.pdf
J. Michael Steele, "The Martingale Central Limit Theorem," University of Pennsylvania, May 27, 2014. [Online]. Available: https://www.stat.wharton.upenn.edu/~steele/Stochastic/martingalecent.pdf
University of Washington, "Central Limit Theorems and Proofs." [Online]. Available: https://faculty.washington.edu/ezivot/econ583/clt.pdf
GeeksforGeeks, "Real-life Applications of Central Limit Theorem," Jul. 23, 2025. [Online]. Available: https://www.geeksforgeeks.org/real-life-applications-of-central-limit-theorem/
Statology, "5 Examples of Using the Central Limit Theorem in Real Life," Nov. 05, 2021. [Online]. Available: https://www.statology.org/central-limit-theorem-real-life-examples/
Pankaj Agarwal, "Law of Large Numbers vs Central Limit Theorem," Analytics Vidhya, Mar. 16, 2020. [Online]. Available: https://medium.com/analytics-vidhya/law-of-large-numbers-vs-central-limit-theorem-3d2850a11393
Cross Validated, "What's the difference between the 'law of large numbers' and the 'central limit theorem'?" May 29, 2018. [Online]. Available: https://stats.stackexchange.com/questions/3241/whats-the-difference-between-the-law-of-large-numbers-and-the-central-limit-t
Benchmark Six Sigma, "Central Limit Theorem, Law of Large Numbers," Sep. 14, 2017. [Online]. Available: https://www.benchmarksixsigma.com/forum/topic/35737-central-limit-theorem-law-of-large-numbers/
Cross Validated, "Difference between the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem in layman's term?" May 10, 2017. [Online]. Available: https://stats.stackexchange.com/questions/268533/difference-between-the-law-of-large-numbers-and-the-central-limit-theorem-in-la
Mathematics Stack Exchange, "Central Limit Theorem Proof using Characteristic Functions," Apr. 21, 2017. [Online]. Available: https://math.stackexchange.com/questions/2254992/central-limit-theorem-proof-using-characteristic-functions
University of Chicago, "Two Proofs of the Central Limit Theorem." [Online]. Available: https://www.stat.uchicago.edu/~bodhi/teaching/courses/251/notes/lect25.pdf
Fairfield University, "Characteristic Functions and the Central Limit Theorem." [Online]. Available: https://faculty.fairfield.edu/cstaecker/courses/math5451/probn/charfunclt.pdf
Indian Institute of Technology Kharagpur, "Central limit theorem – statement, heuristics and discussion." [Online]. Available: https://home.iitk.ac.in/~psraj/mth101/lecture_notes/lecture25.pdf
Angelo's Math Notes, "Proof of Central Limit Theorem," Jan. 10, 2020. [Online]. Available: https://angeloyeo.github.io/2020/01/10/CLT_proof.html
Carolina Bento, "Central Limit Theorem: a real-life application," Medium, Oct. 15, 2020. [Online]. Available: https://towardsdatascience.com/central-limit-theorem-a-real-life-application-258b8f151531
The Friendly Statistician, "What Are Some Real-World Examples Of The Central Limit Theorem?" YouTube, May 13, 2025. [Online]. Available: https://www.youtube.com/watch?v=7h47i-g1O88
Medium, "Central Limit Theorem in Real Life – Practical Guide to CLT," Mar. 07, 2023. [Online]. Available: https://medium.com/@minervaty/central-limit-theorem-in-real-life-practical-guide-to-clt-92850402b11
Wikipedia, "Central limit theorem." [Online]. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem
Gregory Gundersen, "De Moivre–Laplace Theorem," Mar. 08, 2025. [Online]. Available: https://gregorygundersen.com/blog/2020/03/08/de-moivre-laplace/
University of Bristol / BUTE, "Stirling's Formula and DeMoivre-Laplace Central Limit Theorem," Mar. 15, 2022. [Online]. Available: https://www.math.bme.hu/~marbali/BME/stirling_clt.pdf
Mike Dabkowski, "DeMoivre Laplace Theorem," YouTube, Jan. 29, 2023. [Online]. Available: https://www.youtube.com/watch?v=s_U2L5A3Q84
ResearchGate, "The binomial distribution, and a normal approximation." [Online]. Available: https://www.researchgate.net/publication/228675754_The_binomial_distribution_and_a_normal_approximation
Columbia University, "Central Limit Theorems." [Online]. Available: https://www.stat.columbia.edu/~vecer/stochasticprocesses13/clt.pdf
Reddit, "Question on Law of Large Numbers and Central Limit Theorem," Oct. 27, 2024. [Online]. Available: https://www.reddit.com/r/learnmath/comments/17c676g/question_on_law_of_large_numbers_and_central/