운동량 보존 법칙의 이해

목차

• 개요
• 뉴턴 역학에서의 운동량
  • 운동량의 정의
  • 뉴턴 제3법칙과 운동량 보존
• 해석역학에서의 운동량
  • 라그랑주와 해밀턴 역학
  • 대칭성과 보존 법칙
• 양자역학에서의 운동량 연산자
• 운동량 보존 법칙
  • 법칙의 수학적 표현
  • 고립계에서의 운동량 보존
• 관련 예제
  • 예제 1: 충돌 문제
  • 예제 2: 우주 공간에서의 운동량 보존
• 모멘텀과 모멘트의 관계
  • 선운동량과 토크
  • 회전 운동에서의 각운동량 보존

개요

운동량 보존 법칙은 클로즈드 시스템(외력이 작용하지 않는 계)에서 계를 이루는 모든 물체의 총운동량이 시간에 따라 일정하다는 원리이다 (en.wikipedia.org). 여기서 운동량(momentum)이란 물체의 질량과 속도의 곱으로 정의되는 벡터량이다. 운동량의 크기는 물체의 질량이 클수록 또는 속도가 클수록 커지며, 방향은 물체의 속도 방향과 같다. 뉴턴 역학(optical: 고전역학)에서는 운동량(p = m v)이 운동 상태의 중요한 척도이며, 외부 힘이 없으면 계의 전체 운동량이 변하지 않는다 (en.wikipedia.org) (phys.libretexts.org). 이는 에너지 보존 법칙과 함께 물리학의 근본 보존 법칙 중 하나이다.

운동량 보존 법칙은 충돌과 분리, 로켓 추진, 입자 물리, 유체역학 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 필수적인 역할을 한다. 예를 들어 탁구공이 부딪칠 때와 같이 두 물체가 상호 작용할 때, 충돌 전후의 전체 운동량 합이 같다는 사실로 충돌 결과를 예측할 수 있다. 또한 우주공간에서 로켓이 추진체를 내뱉고 자체가 앞으로 나아가는 과정도 운동량 보존으로 설명된다. 뿐만 아니라, 보다 일반적인 물리 이론인 상대성이론, 전자기학, 양자역학 등에서도 운동량 보존 법칙에 상응하는 형태의 보존 법칙이 등장한다 (en.wikipedia.org).

이처럼 운동량 보존 법칙은 물리 법칙의 대칭성과 깊은 관련이 있다. 특히, 공간의 균질성(translational symmetry) — 말하자면 공간 어디나 물리 법칙이 같다는 성질 — 이 운동량 보존을 이끌어낸다 (en.wikipedia.org). 고전역학을 넘어서 해석역학과 양자역학에서도 운동량의 개념은 일반화되어 중요하게 다루어진다. 본 고찰에서는 뉴턴 역학에서의 운동량 정의와 운동량 보존의 원리, 라그랑주 및 해밀턴 역학에서의 일반화된 운동량, 양자역학에서의 운동량 연산자, 운동량 보존 법칙의 수학적 표현과 고립계에서의 적용, 대표적 예제들, 마지막으로 선운동량과 각운동량(모멘텀과 모멘트)의 관계까지 폭넓게 살펴본다.

뉴턴 역학에서의 운동량

뉴턴 역학에서의 운동량의 정의

뉴턴 역학(classical mechanics)에서 한 물체의 선운동량(linear momentum, 운동량) p는 질량 m과 속도 v의 곱으로 정의된다. 즉,
$$
\mathbf{p} = m \mathbf{v}.
$$
여기서 p는 벡터량(vector quantity)으로서 크기와 방향을 가지며, 크기는 (m v), 단위는 SI 단위계에서 kg·m/s이다 (en.wikipedia.org). 운동량의 방향은 물체의 이동 방향과 일치한다. 무거운 물체나 빠르게 움직이는 물체는 큰 운동량을 가지며, 물체의 운동 방향을 유지하려는 관성의 측도를 나타낸다. 예를 들어, 선을 따라 미끄러지는 아이스하키 퍽에서 질량이 크거나 속도가 빠르면, 같은 힘을 받아도 덜 감속된다.

뉴턴의 제2법칙은 운동량 변화율과 힘의 관계를 나타낸다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면 한 입자의 운동량 p의 시간 변화율은 그 입자에 가해진 순힘(Fnet)에 비례한다. 즉,
$$
\frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}{\text{net}}.
$$
이때, $\mathbf{F}{\text{net}}$은 물체에 작용하는 모든 힘의 합이다. 운동량이 벡터이므로, 힘이 가해지면 물체의 운동량의 크기와 방향이 바뀔 수 있다. 단, 힘이 작용하지 않는다면($\mathbf{F}{\text{net}}=0$), 운동량은 시간에 따라 일정하게 유지된다(운동량 보존). 이러한 관계는 힘과 운동 상태 변화를 연결해주며, 여러 물체가 상호작용할 때 각 물체의 운동량 변화를 따질 때도 사용된다.

뉴턴의 제3법칙과 운동량 보존

뉴턴의 제3법칙(작용·반작용 법칙)은 두 물체 사이의 힘이 항상 한 쪽이 가하는 힘과 크기는 같고 방향은 반대임을 나타낸다. 즉, 물체 1이 물체 2에게 가하는 힘 $F{12}$와 물체 2가 물체 1에게 가하는 힘 $F{21}$는 다음과 같다.
$$
F{12} = – F{21}.
$$
이 원리를 운동량 보존 법칙에 적용하면, 계를 이루는 물체들 사이의 상호작용(내부 힘)에 의한 운동량 변화는 서로 상쇄된다. 예를 들어 두 물체(1, 2)가 서로 미는 힘을 가할 때, 물체 1에 작용한 힘으로 인한 운동량의 변화는 $F{21}$에 비례하고, 물체 2에 작용한 힘으로 인한 운동량 변화는 $F{12}$에 비례하는데, $F{21} = -F{12}$이므로 총운동량 변화가 0이 된다. 좀 더 일반적으로, 계를 이루는 모든 물체의 운동량 합을 $\mathbf{p}_{\text{tot}} = \sum \mathbf{p}i$라 하면, 뉴턴 제2법칙을 계 전체에 적용할 때 다음과 같다.
$$
\frac{d\mathbf{p}{\text{tot}}}{dt} = \sum_i \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \sum_i \mathbf{F}_i^{\text{(총)}},
$$
여기서 $\mathbf{F}i^{\text{(총)}}$는 물체 $i$에 작용하는 전체 힘이다. 이 전체 힘을 내부 상호작용에 의한 힘과 외부힘으로 분리하면, 내부힘끼리는 모두 작용·반작용하여 합이 0이 되므로
$$
\frac{d\mathbf{p}{\text{tot}}}{dt} = \sum_{\text{외부 } j} \mathbf{F}j^{\text{(ext)}}.
$$
즉, 계에 외부에서 가해지는 힘(또는 모멘트)이 없으면 $\frac{d\mathbf{p}{\text{tot}}}{dt} = 0$이 되어 $\mathbf{p}_{\text{tot}}$은 일정하게 유지된다. 이를 운동량 보존 법칙이라 한다. 1차원 충돌 문제를 예로 들면, 서로 작용하는 두 물체가 외부 힘을 받지 않으면 충돌 전후의 총운동량이 항상 같다. 이러한 관계는 뉴턴의 제3법칙이 성립하는 경우에만 정확하게 유지되며, 외부 힘이나 계간의 에너지교환이 있으면 운동량이 변할 수 있다 (phys.libretexts.org) (en.wikipedia.org).

예시: 뉴턴의 요람(Newton’s cradle)을 생각해보자. pendulum처럼 연결된 철제공 여러 개가 나란히 줄지어 있을 때, 한쪽 끝의 공이 떨어져 맞닿으면 반대쪽 끝 공이 똑같이 튕겨나온다. 이는 충돌 과정에서 전체 시스템의 운동량이 보존되기 때문이다 (phys.libretexts.org). (마찰이나 공기 저항과 같은 외력이 무시된다면, 요람에 전달된 운동량이 그대로 끝까지 전달되고 마지막 공만 움직이는 모습이 관찰된다.) 이처럼 서로 다른 물체 간의 상호작용에서도 총운동량은 변하지 않으며, 이를 통해 충돌 전후의 속도를 분석할 수 있다.

해석역학에서의 운동량

라그랑지언과 해밀토니언 역학

해석역학(Analytical mechanics)의 라그랑주 방정식과 해밀턴 방정식에서도 운동량 개념은 일반화된 형태로 등장한다. 일반화 좌표 $q_i$와 그에 대응하는 일반화 속도 $\dot{q}_i$를 도입하면, 라그랑지언 $L(q_i,\dot{q}_i,t)$에 대한 일반화된 (켤레) 운동량 $p_i$는 다음과 같이 정의된다 (en.wikipedia.org).
$$
p_i \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}.
$$
이는 좌표계에 따라 정의되는 운동량으로, 예를 들어 단순 입자에서는 전통적인 선운동량 $m v$와 일치하지만, 전자기장 등 외부장이 있을 경우에는 일반화 운동량과 속도 곱의 단순 조합과 달라질 수 있다. 예를 들어, 전자기학에서 전하 $q$를 가진 입자에 대한 라그랑지언을 쓰면, 벡터 퍼텐셜 $\mathbf{A}$ 때문에 일반화 운동량은 $\mathbf{p} = m\mathbf{v} + q\mathbf{A}$의 형태를 가지며, 전기장에 의한 파동함수 해석에서도 이 개념이 중요하다. 해밀토니안 공식에서도 $(q_i, p_i)$가 위상공간을 이루는 좌표로 다루어지며, 해밀토니언에 포함된 보존량들은 대칭성과 관련된다.

특히, 좌표 $q_i$에 대해 라그랑지언이 직접 의존하지 않으면($\partial L/\partial q_i = 0$), 위 정의에서 유도하면 $p_i$는 시간에 따라 상수라는 사실을 알 수 있다. 이는 라그랑주 운동방정식에서 해당 좌표가 주기적/반복적(cyclic)이기 때문에 나타나는 결과로, 그 좌표에 대응하는 운동량이 보존된다는 의미이다. 예를 들어 궤도상의 행성 운동에서 각도 좌표(회전 대칭)가 라그랑지언에 나타나지 않으면, 그 좌표에 대한 일반화 운동량(각운동량)이 보존된다. 이러한 보존 법칙은 근본적으로 시스템의 대칭성과 연결되며, 다음 절에서 자세히 논의한다.

대칭성과 보존 법칙

에미 뇌테르의 이론(Noether’s theorem)에 따르면, 물리계에 대하여 어떤 대칭성이 존재하면 그에 대응하는 보존량이 존재한다. 선형 운동량의 경우, 공간이 균질하며 일정하게 이동시켜도 물리 법칙이 변하지 않는다는 공간 변환대칭(translational symmetry)이 성립할 때 선운동량이 보존된다. 즉, 물리 시스템이 일정한 방향으로 이동함에 따라 라그랑지언 $L$이 변화하지 않으면($L(q_i + \epsilon) = L(q_i)$), 해당 방향의 일반화 운동량이 보존된다. 이는 앞서 언급한 좌표 무관성(cyclic coordinate)의 결과와 연결된다. 실제로, 뉴턴 역학에서 모든 물체에 대한 총운동량 보존은 시스템이 균일한 공간에 있다는 사실의 표현이며, 위 [Momentum 위키백과]에서도 이러한 공간 대칭과 운동량 보존이 연결되어 있음을 확인할 수 있다 (en.wikipedia.org).

결과적으로, 계가 어떤 방향으로 이동하더라도 외부 영향을 받지 않는 경우, 해당 방향 성분의 운동량은 불변이다. 예를 들어, 중력만 받아 수평면 위를 운행하는 물체의 경우 수평 방향 성분의 운동량은 외부 수평 힘이 없으면 일정하게 유지된다. 이처럼 라그랑지언과 헤밀토니언 체계에서 운동량은 일반화행위자(generalized momentum)로 등장하며, 시스템의 대칭성이 운동량 보존으로 직결된다 (en.wikipedia.org) (en.wikipedia.org).

양자역학에서의 운동량 연산자

양자역학(Quantum Mechanics)에서 운동량은 연산자(operator) 형태로 정의된다. 입자의 파동 함수 $\psi(\mathbf{r},t)$에 대응하는 운동량 연산자 $\hat{\mathbf{p}}$는 뉴턴 역학에서의 운동량 개념을 양자역학에 확장시킨 것이다 (en.wikipedia.org) (en.wikipedia.org). 가장 단순한 경우, 1차원 위치 표현에서는 운동량 연산자가 다음과 같이 나타난다:
$$
\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x},
$$
여기서 $\hbar$는 플랑크 상수($h/2\pi$), $i$는 허수 단위이다 (en.wikipedia.org). 이는 위치 공간에서 파동함수에 대해 미분 작용을 하는 미분연산자(differential operator)로, 함수 위에 작용하면 운동량에 해당하는 값(-iħ∂ψ/∂x)을 얻게 된다. 3차원으로 일반화하면 $\hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla$ 형태로 나타나며, 이를 통해 파동함수의 운동량 성분을 계산할 수 있다.

이러한 정의가 나오는 배경에는 번역 대칭과 운동량의 관계가 있다. 운동량은 공간상의 미소 이동(translation)의 기저 연산자가 되는 것인데 (en.wikipedia.org), 즉 모멘텀 연산자는 입자를 작은 공간 이동시키는 연산자를 생성하는 역할을 한다. 고전역학에서 운동량이 공간 이동에 대한 발생자(generator)임을 알고 있듯, 양자역학에서도 동일하게 $\hat{p}$가 파동함수를 미소이동시키는 연산자 역할을 한다 (en.wikipedia.org).

중요한 특성으로, 운동량 연산자는 자기수반(self-adjoint)이므로 관측 가능한 양이며, 위치 연산자와 교환 관계가 성립하지 않는다. 이로 인해 하이젠베르크 불확정성 원리에서는 위치 $x$와 운동량 $p$를 동시에 무한정 정확히 측정할 수 없음을 나타낸다 (en.wikipedia.org). 즉, 위치와 운동량은 서로 켤레 변수(conjugate variables)로, 측정 정확도에 본질적 제한이 있다 (en.wikipedia.org). 운동량 연산자의 고유 상태(eigenstate)는 일반적으로 평면파 형태로 나타나며, 이 상태에서 동역학 상태는 균일하게 공간을 넘나드는 파동함수가 된다.

따라서 양자역학에서 운동량은 고전역학적 운동량의 대응물로, 파동함수 위에서 작용하는 연산자로서 정의된다. 이러한 개념은 양자역학적 충돌, 분산, 파동-입자 이중성 등 다양한 현상에서 핵심적인 역할을 한다.

운동량 보존 법칙

법칙의 수학적 표현

운동량 보존 법칙의 핵심은 계 내의 모든 물체에 대해 외부 힘이 없을 때 전체 운동량의 합이 일정하다는 것이다. 수학적으로, $N$개의 입자로 이루어진 계를 생각하면 각 입자의 운동량을 $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \dots, \mathbf{p}N$이라 할 때 초기 상태에서의 운동량 합과 나중 상태에서의 운동량 합이 같다.
$$
\mathbf{p}{1,i} + \mathbf{p}{2,i} + \dots + \mathbf{p}{N,i} = \mathbf{p}{1,f} + \mathbf{p}{2,f} + \dots + \mathbf{p}_{N,f}.
$$
여기서 밑첨자 $i$는 충돌 전(initial), $f$는 충돌 후(final)를 나타낸다. 1차원일 경우 이를 간단히 쓰면 $m1 v{1,i} + m2 v{2,i} = m1 v{1,f} + m2 v{2,f}$가 된다. 이 식은 운동량의 벡터 합(또는 스칼라 합)이 보존됨을 의미한다. 만약 계가 외부에서 외력을 받으면 오른쪽에 외부 힘에 의해 생성되는 변화량이 추가되어 $\mathbf{p}{\text{tot},f} = \mathbf{p}{\text{tot},i} + \int \mathbf{F}_{\text{ext}}\,dt$가 된다.

운동량 보존 법칙은 때때로 충격량-충격 원리(impulse-momentum theorem) 형태로도 표현된다. 즉, 충돌 중에 작용하는 힘이 충돌 시간을 통해 미치는 “충격력(impulse)”이 물체들의 운동량 변화를 야기한다. 외부 충격이 없으면 내부 충격끼리 상쇄되어 총운동량이 보존된다. 이와 같이, 운동량 보존 법칙은 두 물체 충돌 문제나 분리 문제를 풀 때, 물체의 속도와 질량 정보를 알아내는 데 기본 방정식으로 활용된다.

고립계에서의 운동량 보존

운동량이 보존되려면 계가 고립되어야 한다. 여기서 고립계(arrowal system)란 외부와 물질이나 힘 교환이 없는 계를 의미한다. 즉, 계에 외부 물체가 들어오거나 힘이 가해지지 않는 한, 내부 입자들의 상호작용만으로 이루어진 상황이어야 한다. 이런 조건 하에서 뉴턴 제2법칙을 계 전체에 적용하면 순 외부힘 $\mathbf{F}{\text{ext}} = 0$이므로 앞서 본 대로 $\frac{d\mathbf{p}{\text{tot}}}{dt}=0$이 되어 총운동량 $\mathbf{p}_{\text{tot}}$이 시간에 따라 변하지 않는다 (phys.libretexts.org) (en.wikipedia.org). 이것이 운동량 보존 법칙의 수학적 기반이다.

만약 계가 외부와 완전히 절연되지 않았다면 외부힘이나 질량교환(예: 로켓 테일러식 상황)이 존재하면 운동량이 변할 수 있다. 특히 로켓추진처럼 계가 질량을 잃거나 얻는 경우에도 계(로켓+배출가스) 전체로 보면 여전히 운동량 보존을 적용할 수 있다. 즉, 로켓 추진 시 배출되는 가스와 로켓 본체의 운동량 합이 일정하다. 일반적으로는 계 내부에서 물질이 빠져나가면(또는 들어오면) 운동량 계산에 조심해야 하지만, 외부힘만 없다면 항상 전체 운동량 보존이 적용된다.

정리하면, 고립계에서는 외부에서 계에 작용하는 나토크(총 외부 토크)나 힘이 0이므로 운동량 법칙으로 $\mathbf{p}_{\text{tot}}=\text{const}$가 성립한다. 물체들이 모든 힘을 내부에서 서로 주고받는 경우, 그 전체 운동량은 변하지 않고 보존된다. 이러한 원리는 양자역학이나 상대론에서도 기본적으로 적용되며, 고전역학에서는 정역학적 평형이나 충돌 분석 등 다양한 상황에서 이용된다.

관련 예제

예제 1: 충돌 문제를 통한 운동량 보존 이해

충돌 문제에서 운동량 보존을 직접 확인할 수 있다. 예를 들어 질량 1kg의 공 A가 시속 (v_{A,i}=10) m/s로 이동하다가 정지해 있던 질량 2kg의 공 B를 정면으로 충돌시킨다고 하자. 이 충돌이 외부 힘 없이 이루어진다고 가정하면, 충돌 전의 전체 운동량과 충돌 후의 전체 운동량이 같아야 한다.

충돌 전의 총운동량은
[
p_{\text{tot},i} = mA v{A,i} + mB v{B,i} = 1~\text{kg}\times 10~\text{m/s} + 2~\text{kg}\times 0 = 10~\text{kg·m/s}.
]
충돌 유형에 따라 결과가 달라지는데, 다음 두 경우를 살펴보자.

• 탄성 충돌: 에너지도 보존되는 충돌. 두 공이 서로 튕겨 나가는 경우다. 운동량 보존 식 (mA v{A,i} + mB v{B,i} = mA v{A,f} + mB v{B,f})과 운동에너지 보존 식 (\tfrac12 mA v{A,i}^2 + \tfrac12 mB v{B,i}^2 = \tfrac12 mA v{A,f}^2 + \tfrac12 mB v{B,f}^2)를 연립하여 풀 수 있다. 위 수치를 대입하면 충돌 후 두 물체의 속도 (v{A,f}, v{B,f})를 구할 수 있는데, 계산 결과 공 A는 속도가 거의 0에 가까워지고, 공 B가 약 (5) m/s로 튕겨 나가는 해를 얻는다. 즉, A의 초기 운동량 대부분이 B에게 전달된다.

• 비탄성(충돌 후 합체): 충돌 후 두 공이 붙어서 함께 운동하는 경우다. 이 경우 운동에너지는 일부 손실될 수 있지만, 운동량은 여전히 보존된다. 운동량 보존식만 사용하면 (1 \times 10 + 2 \times 0 = (1+2)v_f)이므로 (v_f = 10/3 \approx 3.33) m/s가 된다. 이 경우 두 공이 함께 (3.33) m/s로 움직이며, 전체 운동량 (10) kg·m/s가 보존된다. (에너지는 비탄성 충돌 특성상 열이나 소리 등으로 일부 손실된다.)

위 두 예에서 볼 수 있듯이, 충돌 전후의 전체 운동량은 항상 같다. 이는 고립된 두 물체 계에서 뉴턴의 법칙으로부터 직접 도출되는 결과이며 (phys.libretexts.org), 이를 이용해 속도나 질량을 구하는 문제를 풀 수 있다.

예제 2: 우주 공간에서의 운동량 보존 사례

우주 공간과 같이 외부 힘이 거의 없는 환경에서는 운동량 보존 법칙이 특히 명확히 적용된다. 예를 들면 우주선 추진을 생각해보자. 우주선이 연료를 연소시켜 반대 방향으로 가스를 분사하면, 그 반작용으로 우주선은 앞으로 나아간다. 이 과정에서 가스가 후방으로 뿜어져 나가면서 우주선과 방출된 가스의 계 전체에서 운동량이 보존된다. 즉, 분사된 가스의 운동량(뒤쪽 방향으로 큰 값)과 우주선의 운동량(앞쪽)이 크기를 맞추어 같고, 방향은 반대가 된다. 외부 힘이 없는 우주 공간에서는 계 전체에서 운동량 총합이 일치해야 하므로, 우주선의 질량과 가스의 속도에 따라 우주선의 속도가 정해진다. 결과적으로, 연료가 줄어드는 동안에도 전체 운동량은 변하지 않는다.

또 다른 예로 탑재된 추진기가 없는 무중력 우주선의 자세 제어를 들 수 있다. 우주인이나 로봇 암이 움직여 우주선 내부 질량 분포가 바뀌어도, 우주선 전체의 각운동량(회전 모멘텀)은 외부 토크가 없으므로 보존된다. 따라서 우주인이나 장비가 회전 운동을 하면 반대 방향으로 우주선이 미세하게 반작용하여 몸을 편 상태로도 천천히 회전할 수 있다. 이처럼 우주에서는 외부 힘이 매우 적은 환경이므로 운동량 보존 법칙이 우주선의 이동과 자세 제어에 핵심적인 제약을 제공한다.

모멘텀과 모멘트의 관계

선운동량과 토크

여기까지 논의한 운동량(momentum, 모멘텀)과 물리학에서 흔히 사용하는 모멘트(moment)는 관련 있지만 구분해야 할 개념이다. 선운동량(μέntm)은 물체의 직선 운동을 나타내는 양인 반면, 모멘트(moment, 토크 torque)는 회전 효과를 나타내는 양으로 정의된다. 토크 $\boldsymbol{\tau}$는 한 점에 대해 회전을 유발하는 힘의 효과를 나타내며, 위치벡터 $\mathbf{r}$과 힘 $\mathbf{F}$의 외적(cross product)으로 주어진다:
$$
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}.
$$
토크 역시 벡터이며, 축을 중심으로 하는 회전 운동의 변화를 일으킨다. 한편, 선운동량 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$는 물체가 직선 운동을 지속하려는 관성을 측정하는 양이다. 두 개념은 모두 운동량 보존과 병행하여 사용되며, 어떤 점을 기준으로 보면 각운동량(angular momentum)으로 연결된다.

회전 운동에서의 각운동량 보존

각운동량(angular momentum)은 회전 운동에서 선운동량의 대응물에 해당한다. 질점의 경우 어떤 기준점으로부터 위치벡터 $\mathbf{r}$를 기준으로 물체의 선운동량 $\mathbf{p}$와 외적하여 정의한다. 3차원에서 한 점에 대한 각운동량 $\mathbf{L}$는 다음과 같다 (en.wikipedia.org):
$$
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}.
$$
이 때 $\mathbf{r}$은 기준점(예: 회전축)으로부터 물체까지의 벡터이며, $\mathbf{p}$는 선운동량이다. 각운동량도 벡터량으로서 크기와 방향(회전축)을 가진다. 회전체의 경우, 관성모멘트 $I$와 각속도 $\boldsymbol{\omega}$를 곱하여 $I\boldsymbol{\omega}$로 나타낼 수 있다.

각운동량의 보존 법칙은 외부 토크가 없는 고립된 회전 계에서 총각운동량(시스템을 구성하는 모든 부분의 각운동량 합)이 일정함을 의미한다 (en.wikipedia.org). 예를 들어, 스케이트 선수가 회전할 때 팔을 몸 쪽으로 모으면 관성모멘트가 작아지고, 각운동량의 보존에 의해 회전 속도가 빨라진다. 이는 외부에서 회전력을 주지 않는 한, $I\omega = const$가 성립하기 때문이다. 자이로스코프가 회전하는 동안 축의 방향을 일정하게 유지하거나, 허리케인이 원뿔형 소용돌이를 이루며 회전하는 것도 각운동량 보존의 결과다 (en.wikipedia.org). 이러한 원리는 앞서 논의한 선운동량 보존과 마찬가지로 회전 대칭(rotational symmetry)과 연결되며, 물리 시스템이 회전해도 라그랑지언이 변하지 않는다면 각운동량이 보존된다.

한편, 토크(모멘트)와 각운동량은 시간 변화율에 의해 연결된다. 다시 말하면, 한 점에 대한 각운동량의 시간 변화율은 그 점에 가해진 토크와 같다:
$$
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \boldsymbol{\tau}{\text{ext}}.
$$
외부 토크가 0인 경우($\boldsymbol{\tau}{\text{ext}}=0$)에는 $d\mathbf{L}/dt =0$가 되어 각운동량이 보존된다. 이는 회전역학에서 뉴턴 제2법칙의 역할을 하는 방정식으로, 선운동량 보존 법칙이 직선 운동에서 힘이 0일 때 운동량이 보존되는 것과 완전히 대응된다.

참고문헌

• Wikipedia, Momentum (운동량) (en.wikipedia.org) (en.wikipedia.org).
• Physics LibreTexts, 7.2: Conservation of Momentum (phys.libretexts.org).
• Wikipedia, Momentum operator (en.wikipedia.org) (en.wikipedia.org).
• Wikipedia, Generalized coordinates (en.wikipedia.org).
• Wikipedia, Momentum (Quantum mechanical) (en.wikipedia.org).
• Wikipedia, Angular momentum (en.wikipedia.org) (en.wikipedia.org).